Betingad sannolikhet uppgifter
•
Betingad sannolikhet
Anna, Bertil, Cecilia och Daniel grubblar igen. De skall resa på solsemester och funderar på sannolikheten att det kommer att regna väl framme under en slumpmässigt vald dag.
För semesterorten gäller att sannolikheten för lågtryck är 0,1, ostadigt 0,2 och sannolikheten för högtryck är 0,7.
Vi skiver sannolikheterna som
| P(lågryck) = 0,1 |
| P(ostadigt) = 0,2 |
| P(högtryck) = 0,7 |
Vidare inför vi en sannolikhet för regn. Om det regnar är beroende av vädertypen, vi talar om betingad sannolikhet.
| P(regn | lågtryck)= 0,6 |
| P(regn | ostadigt)= 0,3 |
| P(regn | högtryck)= 0,1 |
Vi tolkar raderna så att sannolikheten för regn då det är lågtryck är 0,6, regn då det är ostadigt är 0,3 och regn då det är högtryck 0,1.
För att bestämma sannolikheten för att det regnar på en slumpmässig dag gör vi en tabell.
| Vädertyp | Lågtryck (0,1) | Ostadigt (0,2) | Högtryck (0,7) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Ej regn (0,4) | Regn (0,6) | Ej regn (0,7) | Regn (0,3) | Ej regn (0,9) | Regn (0,1) | |
| Sannolikheter: | \( 0,1 \cdot 0,6 \) | \( 0,2\cdot 0,3 \) | \( 0,7 \cdot 0,1 \) | |||
Vår sökta sannol
•
Betingad sannolikhet
Det kunna vara intressant att ta reda vid sannolikheten för att en incident B inträffar, givet att händelsen A redan har skett. Detta kalla för betingad sannolikhet och oss skriver:
$$P(B|A)$$
Det liksom står ovan utläses "Sannolikheten för incident B betingat av incident A", alternativt "Sannolikheten på grund av B självklart A". oss börjar tillsammans med att titta på en exempel, sen skriver oss ned definitionen för betingad sannolikhet samt slutligen tittar vi vid ett mot exempel.
Exempel
Låt incident A="Du drar en monark ur enstaka kortlek" samt händelse B="Du drar ett kung ur en kortlek". Vad existerar sannolikheten P(B|A)?
Lösning:
Eftersom händelsen A redan äger inträffat finns det 51 kort kvar i kortleken, varav 3 är kungar. Alltså är
$$P(B|A)=\frac{3}{51}$$
Definition
Låt \(A\) samt \(B\) artikel två händelser och antag att \(P(A)>0\). Då existerar den betingade sannolikheten för händelsen \(B\), givet för att \(A\) äger inträffat, definierad som:
$$P(B|A):=\frac{P(B\cap A)}{P(A)}$$
Att det står \(:=\) innebär inom matematiken att detta till vänster om tecknet definieras som detta till höger.
Exempel
Vid en hastighetskontroll på ett motorväg visade det sig att 40% av varenda bilar körde för fort. 5%
•
Denna sidan måste öppnas med en webbläsare som kan hantera matematiska formler.
Använd Firefox för Windows eller Safari för Mac.
Info, referenser, m.m
Betingad sannolikhet (I)
Några sannolikhetsberäkningar
Följande uttryck är definitionen för betingad sannolikhet (och naturligtvis måste nämnaren vara större än noll). Täljaren kallas ibland för 'sannolikheten för snitthändelsen av F och A'.
(I tillverkningssammanhang skulle man kalla P(F givet A) för felkvoten av A-produkterna):
Kommentar 1. Nedan beräknas tre olika sannolikheter och resultatet uppdateras då Venn-diagrammet förändras:
Kommentar 2. Det kan också vara intressant att beräkna 'den totala felkvoten'. Denna kan beskrivas som summan av de tre mindre färgade rutorna. Ibland kan det dock vara bättre att skriva om varje snitthändelse som en produkt, oftast är dessa mer lättillgängliga:
Formel
Kommentar 3. Följande beräkningar handlar om den 'omvända händelsen'. I översta exemplet var en produkt given ( 'A') och beräkningen gällde sannolikheten att den var felaktig. Här är det givna i stället en felaktig produkt och frågan vad sannolikheten är att det är en A-pr