Definition gränsvärde punkt

Ett gränsvärde (limes) (matematisk symbol: lim) till en funktion beskriver funktionens värde då dess argument kommer tillräckligt nära enstaka viss punkt eller växer sig oändligt (eller tillräckligt) stora. toleransnivåer används inom matematisk bedömning, bland annat för för att definiera kontinuitet och derivata.

För toleransnivåer används notationen

alternativt f(x) → A då x → a.

Båda utläses som ”gränsvärdet av f(x) då x går mot a existerar lika tillsammans med A” alternativt ”limes från f(x) …”, alternativt ”f(x) går mot A då x går mot a”, och innebär att då x existerar "nästan a" kommer f(x) att artikel "nästan A".

Funktioner från en variabel

[redigera | redigera wikitext]

Antag för att f&#;: R → R är definierad på den reella tallinjen och för att a, A ∈ R. Gränsvärdet från f, då x närmar sig a, är A och skrivs

om villkoret

För varenda reellt ε&#;>&#;0, existerar en reellt δ&#;>&#;0 sådant för att för varenda reella x, 0&#;<&#;|&#;x&#;−&#;a&#;|&#;<&#;δ impliceras |&#;

•

Gränsvärde mot en punkt på en diskontinuerlig funktion

Hej! Jag postade om denna integral för några månader sedan och diskuterade med min lärare om en alternativ lösning till den för några dagar sedan. 

Jag löste den ursprunligen med komplex analys, men läste även om en annan metod för att beräkna den. Den går såhär:
Först kommer vi ihåg att för alla

Definiera
Då gäller det att eftersom integranden är jämn. 
Vi har att
Om vi kollar på insidan av så skriver vi om den på detta sätt:  

Alltså är för
Då har vi slutligen att
Vi har alltså en differentialekvation, . Den har lösningen

Vi har också att


Detta ger ekvationssystemet 


Med lösningen
Alltså är
Då följer det att och vi är klara. 

Det jag undrar över är mest om beräkningen av är tillåten. Om vi exakt lägger in 0 i får vi 0, inte . Funktionen verkar inte vara kontinuerlig vid . Det stämmer att 
. Men funktionen är definierad vid och om man direkt lägger in den i integralrepresentationen. Vidare, om man grafar får man

Derivatan är uppenbart inte kontinuerlig i . Varför verkar det ändå vara ok att använda detta värde?

Min uppfattning är eftersom värdet av vi vill ha ligger

•

Gränsvärde eller derivata?

ChristopherH skrev:

Hej! Jag har en funktion f(x) = x^2 + x

Jag vill få denna till derivatans definition, vilket betyder att för varje punkt i parablen av f(x) så har vi lutningen = f'(x) då lim h=>0

stryk det fetstilta

 

Så för att beräkna f'(x) använder vi formeln  (f(x+h)-f(x))/h

 

x^2 skriver vi som (x+h)^2

x skriver vi som (x+h) 

Vi sätter dessa värden i formeln

 

((x+h)^2 + (x+h) - (x^2+x))/h

=> 

((x^2+ 2xh + h^2 + x + h)- (x^2+x))/h

=>

(2xh + h^2 + x + h)/h

=>

(2x+h+1) 

=>

Använd likhetstecken, inte =>

skriv ((x^2+ 2xh + h^2 + x + h)- (x^2+x))/h = ^{[(x^2+x–x^2–x) + h(2x +h + 1)]/h =}

^{= h(2x+h+1) / h = < h ≠ 0> = 2x+h+1 som går mot 2x+1 när h går mot 0}

^{dvs f’(x) = 2x+1}

 

Eftersom h går mot h=0 så kommer  kurvan alltså stiga uppåt emot y-led i en oändlig mängd y. Så vi sätter alltså in värdet på h som som gör att den är så nära y-led som möjligt vilket = 0

=>

Därför försvinner 2x + h + 1 => 2x + 1

Stryk fetstilt

 

Om vi nu skulle beräkna k värdet hos en tangent med f'(x)=2x+1 då tangenten är vid x=1

då